実行時間が ${\log }_{2}n$ に比例するアルゴリズムと、${\log }_{10}n$ に比例するアルゴリズムのオーダーの関係として、適切なものはどれか。

解説

正解は「どちらも $O(\log n)$ で、同じオーダーである」です。底の変換公式により ${\log }_{2}n=\frac{{\log }_{10}n}{{\log }_{10}2}$ で、$\frac{1}{{\log }_{10}2}$ は約3.32という n によらない定数です。つまり ${\log }_{2}n$ は ${\log }_{10}n$ の約3.32倍にすぎず、オーダー記法では定数倍を無視するため、どちらも $O(\log n)$ となります。「${\log }_{2}n$ の方がオーダーが大きい」は、実際の値が約3.32倍大きいことと、増加の度合いを表すオーダーを混同しています。「${\log }_{10}n$ の方がオーダーが大きい」も同様に誤りです。「底が異なるので、オーダーを比較できない」は、底の変換公式で定数倍の関係にあることを見落としています。